Прогиб по формуле мора

Перемножение эпюр по правилу, методу или способу Мора-Верещагина: формула, таблица, примеры и задачи

Привет! В этой статье будем учиться определять перемещения поперечных сечений при изгибе: прогибы и углы поворотов, по методу (способу, правилу) Верещагина. Причем, это правило широко используется не только при определении перемещений, но и при раскрытии статической неопределимости систем по методу сил. Я расскажу, о сути этого метода, как перемножаются эпюры различной сложности и когда выгодно пользоваться этим методом.

Верещагин и его метод, правило или способ

А.К. Верещагин в 1925г. предложил более простой способ решения (формулы) интеграла Мора. Он предложил вместо интегрирования двух функций перемножать эпюры: умножать площадь одной эпюры на ординату второй эпюры под центром тяжести первой. Этим способом можно пользоваться, когда одна из эпюр прямолинейна, вторая может быть любой. Кроме того, ордината берется прямолинейной эпюры. Когда эпюры обе прямолинейны, то тут совсем не важно, чью брать площадь, а чью ординату. Таким образом, эпюры по Верещагину перемножаются по следующей формуле:​

Проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину: C — центр тяжести первой эпюры, ωс — площадь первой эпюры, Mc — ордината второй эпюры под центром тяжести первой.

Площадь и центр тяжести эпюр

При использовании метода Верещагина, берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.

Любую эпюру можно расслоить всего на три фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент.

Поэтому именно с этими фигурами будем дальше работать. Напомню, как вычислить их площадь и где у них находится центр тяжести. Все формулы и размеры оформил в виде таблицы:

Перемножение эпюр по Верещагину

В этом блоке статьи покажу частные случаи перемножения эпюр по Верещагину.

Прямоугольник на прямоугольник

Прямоугольник на треугольник

Треугольник на прямоугольник

Сегмент на прямоугольник

Сегмент на треугольник

Частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры

В этом блоке статьи покажу частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры, для возможности их перемножения по Верещагину.

Прямоугольник и треугольник

Два треугольника

Два треугольника и сегмент

Треугольник, прямоугольник и сегмент

Пример определения перемещений: прогибов и углов поворотов по Верещагину

Теперь предлагаю рассмотреть конкретный пример с расчетом перемещений поперечных сечений: их прогибов и углов поворотов. Возьмем стальную балку, которая загружена всевозможными типами нагрузок и определим прогиб сечения C, а также угол поворота сечения A.

Построение эпюры изгибающих моментов

В первую очередь, рассчитываем и строим эпюру изгибающих моментов:

Построение единичных эпюр моментов

Теперь для каждого искомого перемещений необходимо приложить единичную нагрузку (безразмерную величину равную единице) и построить единичные эпюры:

• Для прогибов, прикладываются единичные силы.
• Для углов поворотов, прикладываются единичные моменты.

Например, после расчета величина прогиба получилась положительной, это значит, что направление перемещения сечения совпадает с направлением ранее прикладываемой силы. Тоже самое касается и углов поворотов.

Перемножение участков эпюры по Верещагину

После проведения всех подготовительных работ: построения эпюры изгибающих моментов, расслоения ее на элементарные фигуры и построения единичных эпюр от нагрузок, приложенных в местах и направлении искомых перемещений, можно переходить непосредственно к перемножению соответствующих эпюр.

Определение прогиба сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем прогиб сечения C по методу Мора — Верещагина:

[ < V >_< C >=frac < 1 >< E< I >_ < x >> (frac < 1 > < 2 >cdot 6cdot 3cdot frac < 2 > < 3 >cdot 2+frac < 1 > < 2 >cdot 6cdot 2cdot frac < 2 > < 3 >cdot 2)=frac < 20кН< м >^ < 3 >>< E< I >_ < x >> ]

Представим, что рассчитываемая балки имеет поперечное сечение в виде двутавра №24 по ГОСТ 8239-89, тогда прогиб балки будет равен:

Определение угла поворота сечения С

Перемножаем соответствующие эпюры слева направо и вычисляем угол поворота сечения C по правилу Мора — Верещагина:

Источник

Прогиб по формуле мора

Вывод основной формулы. Определение прогибов. Пусть к балке в точке (рис. 20) приложена сила Р, которая равна единице (единичная сила). Если сообщить балке некоторый дополнительный прогиб у, то работа внешней силы у (а) будет равна работе внутренних сил упругости .

Обозначим изгибающий момент в сечении стержня от действия единичной силы . Пусть — относительный поворот двух близких сечений, возникший в результате дополнительного прогиба у балки. Тогда работа внутренних сил (работа деформации, рис. 21)

Приравнивая работы внешних и внутренних сил, получаем

Уравнение (40) должно быть справедливым для произвольного (малого) прогиба стержня.

Предположим теперь, что в качестве у рассматривается прогиб от внешней нагрузки.

где — изгибающий момент в сечении от действия внешней нагрузки.

Подставляя отсюда значение в соотношение (40), получаем основную расчетную формулу (интеграл Мора)

Следовательно, чтобы найти прогиб в данном сечении стержня, надо приложить единичную силу в этом сечении, определить изгибающий момент от единичной силы и вычислить интеграл (41).

Величина в , так как в равенстве (41) сокращен множитель 1 Н. Единичный силовой фактор при использовании интеграла Мора

Рис. 21. Работа внутренних силовых факторов

следует считать безразмерной величиной (момент от единичной силы имеет размерность длины).

В большинстве практических задач интеграл Мора определяют с помощью правила Верещагина (см. ннже).

В общем случае интеграл Мора может быть вычислен по правилу трапеций. Равенство (41) справедливо и для упругопластических деформаций, если соответствующим образом определить

Если требуется учесть влияние перерезывающей силы на прогиб, то уравнение (40) будет иметь вид

где — угол сдвига [см. формулу (32)]; — перерезывающая сила в сечении от действия единичной силы.

Вместо равенства (41) будем иметь

Второй член в этой формуле выражает прогиб от действия перерезывающей силы.

Преимущества определения перемещения с помощью интеграла Мора особенно сказываются для стержней с непрямолинейной осью. Пусть, например, требуется найти проекцию перемещения точки А (рис. 22) на направление I—I, причем следует учесть влияние изгибающих моментов, перерезывающих и нормальных сил.

Повторяя предыдущие рассуждения,

Рис. 22. Изгиб Г-образного стержня

Найдем проекцию перемещения точки приложения единичной силы на ее направление:

где — изгибающий момент, перерезывающая и нормальная силы в сечении стержня от действия единичной силы, — то же в поперечном сечении от действия внешних

Интегрирование распространяется на всю длину осн стержня, элемент длины обозначается

Определение углов поворота. Формула для определения углов поворота выводится так же, как соотношение (44). В сечении, где определяют угол поворота, прикладывают единичный момент (рис. 23). Работа момента будет .

В соответствии с этим

В этом равенстве — изгибающий момент в сечении стержня от действия единичного момента.

Рис. 23. (см. скан) Работа единичного момента

Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина. Изгибающий момент от внешней нагрузки и изгибающий момент от единичной силы (момента) определяют по одному правилу знаков (например, момент считают положительным, если он создает сжатие верхнего волокна).

Если при вычислении интеграла (41) или (45) получается отрицательная величина, это означает, что действительный прогиб или угол поворота сечения направлен в сторону, противоположную направлению соответственно единичной силы или единичного момента.

Эпюра изгибающих моментов от единичной силы или единичного момента состоит из отрезков прямых. Рассмотрим участок стержня в пределах от до (рис. 24).

Предположим, что изгибающий момент от единичной нагрузки выражается равенством

где А и В — некоторые числа. Тогда интеграл Мора на рассматриваемом участке

Рис. 24. К выводу правила Верещагина

Предположим, что жесткость стержня на изгиб в пределах участка постоянна, и учтем, что

где — площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил.

Далее следует прииить во внимание, что

так как интеграл представляет собой статический момент площади , а гц — абсцисса центра тяжести площади

Формула (48) справедлива в том случае, когда величина имеет постоянный знак в пределах участка.

Используя соотношение (48), получим из равенства (47)

Рис. 25. (см. скан) Ограничения для применения правила Верещагина

где — момент от единичной нагрузки в сечении гц.

Следовательно, интеграл Мора в пределах участка равен произведению площади эпюры моментов от внешних сил на ординату эпюры от единичной нагрузки в сечении, соответствующем центру тяжести этой площади, деленному на жесткость стержня на изгиб (правило Верещагина).

1. Площадь и положение центра тяжести эпюр

Ограничения для применения правила Верещагина. 1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 25, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 25, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого из двух участков в отдельности.

Ограничение не распространяется на момент от единичной нагрузки.

3. Жесткость стержня на изгиб в пределах участка должна быть постоянна. На рис. 25, в приведен случай, когда интеграл нужно вычислить отдельно для участков и II. Вспомогательные данные для применения правила Верещагина приведены в табл. 1.

Если эпюра от внешних силовых факторов на данном участке является линейной (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то равенство (46) можно использовать для момента и тогда, повторяя вывод, найдем

где — площадь эпюры моментов от единичной нагрузки; — ордината эпюры моментов от внешних нагрузок в сечении, соответствующем центру тяжести площади эпюры моментов от

единичной иагрузкн. Все ограничения, указанные выше для формулы (49), соответствующим образом переносятся на формулу (50).

Источник