Интеграл мора физический смысл

Вычисление интеграла Мора пример

Интеграл Мора определяет величину перемещения произвольного сечения балки. Физический смысл интеграла Мора – работа единичной силы на перемещение ее точки приложения от заданной нагрузки. То есть, отсюда следует, если при вычислении интеграла Мора результат получается положительным, то это значит, что направление единичной силы совпадает с направлением искомого перемещения. В противном случае – направление единичной силы и искомого перемещения прямо противоположны.

Этапы решения задач для определения перемещения с помощью интеграла Мора.

1. Определяются опорные реакции и составляется уравнение для изгибающих моментов М_хF от заданной нагрузки F = F₁, F₂, ….F_n.

2. Освобождается конструкция от заданной нагрузки F, к такой свободной конструкции прикладывается единичный силовой фактор ( сила равна единице или момент равен единице) в направлении искомого перемещения (линейного или углового) в заданной точке К.

3. Определяются заново опорные реакции от единичного силового фактора и составляется уравнение изгибающего момента М_к1 от этого единичного силового фактора.

4. Вычисляется перемещение искомой точки К с помощью интеграла Мора.

Определить прогиб балки посередине пролета и угол поворота поперечного сечения на левой опоре. Жесткость балки на изгиб — EJ_x , длина — ℓ.

Используя интеграл Мора для решения нужно составить выражения для изгибающих моментов для каждого характерного участка. Для данной конструкции характерных участка — два.

1. Определяем реакции опор R_A и R_B c помощью уравнений равновесия

2. Для изгибающего момента на первом участке М_хF = F/2 ∙ z, (0 ≤ z ≤ ℓ/2);

на втором участке М_хF = F/2 ∙ z — F(z — ℓ/2), (ℓ/2 ≤ z ≤ ℓ );

3. Освобождаем балку от заданной нагрузки F и прикладываем силу, равную единице, в направлении искомого прогиба в середине пролета балки.

4. Определяем заново реакции опор R_A и R_B.

5. Для изгибающих моментов от единичного силового фактора запишем:

для первого участка — М_к1 = 1/2 ∙ z, (0 ≤ z ≤ ℓ/2);

на втором участке — М_к2 = 1/2 ∙ z — (z — ℓ/2), (ℓ/2 ≤ z ≤ ℓ );

6. Определим прогиб в середине пролета балки:

δ_kF=

Учитывая, что эпюры М_xF и M_K симметричны можно увеличить первое слагаемое в два раза и отбросить второе.

7. Для определения угла поворота поперечного сечения в точке А также освобождаем исходную балку от нагрузки и прикладываем единичный силовой фактор — изгибающий момент, который равен единице, в направлении искомого перемещения.

8. Для новой расчетной схемы из условия равновесия балки определяем реакции опоры.

Условие равновесия (сумма проекций всех сил = 0) на вертикальную ось.

9. Изгибающий момент от действия сосредоточенного момента в т. А :

М_А1 = 1 — R_A ∙ z = 1 — z /ℓ (0 ≤ z ≤ ℓ )

10. Определяем угол поворота левого крайнего сечения:

φ_АF=

Положительное значение угла поворота означает, что выбранное направление единичного силового фактора совпадает с направлением истинного искомого перемещения.

Метод Мора оптимально применять для криволинейных брусьев малой кривизны.

Для стальной балки подобрать сечение из двух рядом стоящих швеллеров, если [σ] = 160 МПа. Определить прогиб балки посередине и угол поворота на правом конце.

q = 50 кН/м; F = 15кН; М = 15 кНм.

Определяем реакции опор:

Проверка: R_А — F – q 6 + R_B = 0; 157,5 – 15 — 50 · 6 + 157,5 = 0

→ Q_С = R_А — q· 2 = 157,5 – 50 ·2 =57,2 кН

← Q_С = -R_В + q· 4 = -157,5 + 50· 4 =42,5 кН

→ М_С = М + R_А 2 — q ·2 ·1 = 15 + 157,5 · 2 – 50 ·2 · 1 = 230 кНм

М_мах = М + R_А 2,85 — F· 0,85 — q ·2,85 ·1,425 = 15 +157,5 — F 2,85– 150,83 – 50 · 2,85 · 1,425 = 248 кНм- F

Учитывая, что Q_Z = R_A — F – q (2+ z) = 0, то z = = 0,85 м.

Из условия прочности по нормальным напряжениям

σ = / W_x [σ]

σ = = = 1550 = 1550

Сечение состоит из двух рядом стоящих швеллеров W_x = 2 W_x

Момент сопротивления одного швеллера W_x1= W_x/2 = 1550/2 = 775

По ГОСТ 8240-97 два швеллера № 40 W_x= 761 , J_x = 15220 , A = 61,5

В опасном сечении напряжение

σ = = 162,9 Мпа [σ]

Перегрузка П = 100% = 1,8%. Допустимая величина.

Прочность балки обеспечена.

Определяем прогиб сечения D и угол поворота сечения К, используя уравнения начальных параметров.

Выбираем начало координат в точке О – крайней левой точке балки. Определяем прогиб посередине пролета при z = 3 м.

ЕJ_x y_D = ЕJ_x y + ЕJ_x 3 + M + R_Ay – F – q

Правило знаков — как у изгибающего момента.

Находим начальные параметры y_0, из условия закрепления концов балки.

При z = 0, y_A = y = 0, _A = y_В = 0. Следовательно

ЕJ_x y_В = ЕJ_x 6 + M + R_Ay – F – q = 0

ЕJ_x = -513,3 кН м,

ЕJ_x y_D = — 513,3 2,85 + 15 + 157,5 – 15 – 50 = -1046,5 кНм 3

Прогиб сечения D

y_D = — = — 17,2 мм

Знак минус показывает то, что балка прогибается вниз.

Находим угол поворота сечения К при z = 7 м.

ЕJ_{x К} — 513,3+ 15 + 157,5 – 15 – 50 = 404,6 кНм 2

_К Место для формулы. = 0,00665 рад.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента M_F от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

где: Δ — перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.

Источник

Интеграл мора физический смысл

Одно из основных преимуществ интеграла Мора состоит в том, что он, в сущности, не связан с какой-либо общей системой координат.

Рис. 9.14. Определение прогиба стержня с помощью интеграла Мора: а — основная система; б — единичная система

Рис. 9.15. Правило знаков для изгибающих моментов и сил (показаны положительные направления)

Рис. 9.16. Физический смысл интеграла Мора (проекция перемещения точки на направление приложенной единичной силы)

Правило знаков для силовых факторов выбрано заранее в местной системе координат (рис. 9.15), которая может быть ориентирована произвольным образом в пространстве. Ось s в каждом сечении направлена по касательной к оси стержня.

Важно только, что для силовых факторов от внешней нагрузки и единичного силового фактора применяется единое правило знаков. Перемещение точки стержня в направлении единичной силы определяется следующим равенством:

Напомним, что оси х, у являются главными приведенными осями сечения; — жесткости сечений на растяжение, изгиб и сдвиг; — силовые факторы в сечении стержня от действия единичной силы. Подчеркнем, что по смыслу вывода величина 6 не является полным перемещением точки оси стержня, а является проекцией на направление действия единичной силы. Например, для стержня, показанного на рис. 9.16, полное перемещение точки А равно , а интеграл Мора дает величину .

Для неравномерно нагретых стержней к величине б добавляется

где в соответствии с равенствами гл. 8 температурные усилия равны

Замечание. Интеграл Мора применим для определения прогибов при упругопластических деформациях. В этом случае характеристики жесткости определяются методом переменных параметров упругости.

Рис. 9.17. Работа единичного момента

Определение угла поворота с помощью интеграла Мора. Для этого в сечении (рис. 9.17), где требуется определить угол поворота, прикладывается единичный момент . В стержне под действием единичного момента возникнут силовые факторы и т. д.

Считая прогибы стержня под действием внешней нагрузки возможными перемещениями для единичной системы, получим, подобно равенству (102), где — изгибающий момент от внешней нагрузки.

В общем случае справедлива формула (103), в которой заменяется на а силовые факторы определяются от единичного изгибающего момента.

Замечание. Возможны дальнейшие обобщения интеграла Мора, когда прикладывается не единичный силовой фактор, а единичная система сил. Физический смысл интеграла Мора вытекает из того, что он представляет возможную работу единичной системы сил на перемещениях основной системы.

Источник